Gaussian und Parabel zur Untersuchung von LED-Lichtströmen einer experimentellen Lampe - Gunook

2024 Autor: John Day | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-30 07:15

Hallo an alle Macher und an die geschäftige Community von Instructable.

Dieses Mal bringt Merenel Research Ihnen ein reines Forschungsproblem und einen Weg, es mit Mathematik zu lösen.

Ich hatte dieses Problem selbst, als ich die LED-Flüsse einer von mir gebauten RGB-LED-Lampe berechnete (und deren Bau ich beibringen werde). Nach ausgiebigem Suchen im Internet habe ich keine Antwort gefunden, daher poste ich hier die Lösung.

DAS PROBLEM

Sehr oft haben wir es in der Physik mit Kurven zu tun, die die Form der Gaußschen Verteilung haben. Jawohl! Es ist die glockenförmige Kurve, die zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwendet wird und die uns von dem großen Mathematiker Gauß gebracht wurde.

Die Gauss-Kurve wird häufig in realen physikalischen Anwendungen verwendet, insbesondere wenn es sich um Strahlung handelt, die sich von einer Quelle ausbreitet oder von einem Empfänger empfangen wird, zum Beispiel:

- die Abgabe der Leistung eines Funksignals (z. B. des Wi-Fi);

- der von einer LED abgegebene Lichtstrom;

- das Lesen einer Fotodiode.

Im Datenblatt des Herstellers wird uns oft der tatsächliche Wert der Fläche des Gaußschen angegeben, das wäre die gesamte Strahlungsleistung oder der gesamte Lichtstrom in einem bestimmten Bereich des Spektrums (zB einer LED), aber es wird schwierig, die tatsächliche Strahlung zu berechnen am Scheitelpunkt der Kurve emittiert oder noch schwieriger die überlappende Strahlung zweier naher Quellen zu erkennen, zum Beispiel wenn wir mit mehr als einer LED beleuchten (zB Blau und Grün).

In diesem anweisbaren Papier erkläre ich Ihnen, wie Sie die Gaussian mit einer leichter verständlichen Kurve annähern: eine Parabel. Ich beantworte die Frage: Wie viele Gaußsche Kurven hat eine Parabel?

SPOILER → DIE ANTWORT IST:

Die Gaußsche Fläche ist immer 1 Einheit.

Die Fläche der entsprechenden Parabel mit gleicher Basis und Höhe ist 2,13 mal größer als die relative Gaußsche Fläche (siehe Bild für die grafische Darstellung).

Ein Gaussian ist also 46,94 % seiner Parabel und diese Beziehung ist immer wahr.

Diese beiden Zahlen sind auf diese Weise 0.46948=1/2.13 verbunden, dies ist die strenge mathematische Beziehung zwischen einer Gaußschen Kurve und ihrer Parabel und umgekehrt.

In dieser Anleitung führe ich Sie Schritt für Schritt dazu, dies zu entdecken.

Das einzige Instrument, das wir benötigen, ist Geogebra.org, ein großartiges mathematisches Online-Tool zum Zeichnen von Diagrammen.

Die Geogebra-Karte, die ich erstellt habe, um eine Parabel mit einer Gauß-Diagramm zu vergleichen, kann unter diesem Link gefunden werden.

Dieses anweisbare ist lang, weil es um eine Demonstration geht, aber wenn Sie das gleiche Problem, das ich mit LED-Lichtströmen hatte, oder ein anderes Phänomen mit überlappenden Gauss-Kurven schnell lösen müssen, springen Sie bitte einfach auf die Tabelle, die Sie beim Schritt finden 5 dieses Leitfadens, der Ihnen das Leben erleichtert und alle Berechnungen automatisch für Sie durchführt.

Ich hoffe, Sie mögen angewandte Mathematik, weil es in diesem instructable darum geht.

Schritt 1: Das von einer monochromatischen LED emittierte Licht verstehen

In dieser Analyse werde ich eine Reihe von farbigen LEDs betrachten, wie Sie aus ihrem Spektraldiagramm (erstes Bild) deutlich sehen können, dass ihre spektrale Leistungsverteilung wirklich wie eine Gauss-Verteilung aussieht, die bei -33 und +33 nm des Mittelwerts in die x-Achse konvergiert (Hersteller gibt normalerweise diese Spezifikation an). Bedenken Sie jedoch, dass die Darstellung dieses Diagramms alle Spektren auf einem einzigen Netzteil normalisiert, aber LEDs haben unterschiedliche Leistung, je nachdem, wie effizient sie hergestellt werden und wie viel Strom (mA) Sie in sie einspeisen.

Wie Sie manchmal sehen können, überlappt sich der Lichtstrom zweier LEDs im Spektrum. Nehmen wir an, ich möchte einfach den Überlappungsbereich dieser Kurven berechnen, da in diesem Bereich die doppelte Leistung vorhanden ist und ich wissen möchte, wie viel Leistung in Lumen (lm) wir dort haben, das ist es nicht eine einfache Aufgabe, die wir in diesem Handbuch zu beantworten versuchen. Das Problem entstand, weil ich beim Bau der Experimentallampe unbedingt wissen wollte, wie stark sich das blaue und das grüne Spektrum überlappen.

Wir werden uns nur auf monochromatische LEDs konzentrieren, die in einem schmalen Teil des Spektrums emittieren. In der Tabelle: KÖNIGSBLAU, BLAU, GRÜN, ORANGE-ROT, ROT. (Die eigentliche Lampe, die ich baue, ist RGB)

HINTERGRUND DER PHYSIK

Lass uns ein bisschen zurückspulen und zuerst ein bisschen Physik erklären.

Jede LED hat eine Farbe, oder wissenschaftlicher würden wir sagen, dass sie eine Wellenlänge (λ) hat, die sie bestimmt und die in Nanometern (nm) und λ=1/f gemessen wird, wobei f die Schwingungsfrequenz des Photons ist.

Was wir also ROT nennen, ist im Grunde ein (großer) Haufen von Photonen, die bei 630 nm schwingen, diese Photonen treffen auf die Materie und prallen in unseren Augen ab, die als Rezeptoren fungieren, und dann verarbeitet Ihr Gehirn die Farbe des Objekts als ROT; oder die Photonen könnten direkt in Ihre Augen gelangen und Sie würden die LED, die sie aussendet, in ROT leuchten sehen.

Es wurde entdeckt, dass das, was wir Licht nennen, eigentlich nur ein kleiner Teil des elektromagnetischen Spektrums zwischen 380 nm und 740 nm ist; Licht ist also eine elektromagnetische Welle. Das Merkwürdige an diesem Teil des Spektrums ist, dass genau der Teil des Spektrums leichter durch Wasser geht. Erraten Sie, was? Unsere alten Vorfahren aus der Ursuppe waren tatsächlich im Wasser, und im Wasser begannen die ersten, komplexeren Lebewesen, Augen zu entwickeln. Ich empfehle Ihnen, sich das Video von Kurzgesagt anzusehen, das ich beigefügt habe, um besser zu verstehen, was Licht ist.

Zusammenfassend emittiert eine LED Licht, das eine bestimmte Menge an radiometrischer Leistung (mW) bei einer bestimmten Wellenlänge (nm) ist.

Wenn wir es mit sichtbarem Licht zu tun haben, sprechen wir normalerweise nicht von der radiometrischen Leistung (mW), sondern vom Lichtstrom (lm), einer Maßeinheit, die für die Reaktion des menschlichen Auges auf sichtbares Licht gewichtet wird Candela-Maßeinheit und wird in Lumen (lm) gemessen. In dieser Präsentation betrachten wir die von LEDs emittierten Lumen, aber alles gilt genau in gleichem Maße für mW.

In jedem LED-Datenblatt gibt Ihnen der Hersteller diese Informationen:

Aus diesem angehängten Datenblatt sehen Sie beispielsweise, dass Sie Folgendes haben, wenn Sie beide LEDs mit 100 mA versorgen:

BLAU hat 480 nm und hat einen Lichtstrom von 11 lm;

GRÜN hat 530 nm und einen Lichtstrom von 35 lm.

Dies bedeutet, dass die Gaußsche Kurve von Blau höher wird, stärker ansteigt, ohne ihre Breite zu ändern, und um den durch die blaue Linie begrenzten Teil oszilliert. In diesem Papier werde ich erklären, wie man die Höhe der Gaussian berechnet, die die volle von der LED emittierte Spitzenleistung ausdrückt, nicht nur die in diesem Teil des Spektrums emittierte Leistung, leider wird dieser Wert niedriger sein. Darüber hinaus werde ich versuchen, den überlappenden Teil der beiden LEDs anzunähern, um zu verstehen, wie viel Lichtstrom sich überlappt, wenn es sich um LEDs handelt, die im Spektrum "Nachbarn" sind.

Die Messung des Flusses von LEDs ist eine sehr komplexe Angelegenheit. Wenn Sie mehr wissen möchten, habe ich ein ausführliches Papier von Osram hochgeladen, das erklärt, wie die Dinge gemacht werden.

Schritt 2: Einführung in die Parabel

Ich werde nicht näher darauf eingehen, was eine Parabel ist, da sie in der Schule ausgiebig studiert wird.

Eine Parabelgleichung kann in der folgenden Form geschrieben werden:

y=ax^2+bx+c

ARCHIMEDES HILFT UNS

Was ich unterstreichen möchte, ist ein wichtiger geometrischer Satz von Archimedes. Der Satz besagt, dass die Fläche einer in einem Rechteck begrenzten Parabel gleich 2/3 der Rechteckfläche ist. Im ersten Bild mit der Parabel sehen Sie, dass die blaue Fläche 2/3 und die rosa Flächen 1/3 der Fläche des Rechtecks ausmachen.

Wir können die Parabel und ihre Gleichung berechnen, wenn wir drei Punkte der Parabel kennen. In unserem Fall berechnen wir den Scheitelpunkt und kennen die Schnittpunkte mit der x-Achse. Zum Beispiel:

BLAUE LED Scheitel (480, ?) Das Y des Scheitels ist gleich der bei der Spitzenwellenlänge emittierten Lichtleistung. Um es zu berechnen, verwenden wir die Beziehung, die zwischen der Fläche eines Gaußschen (tatsächlichen von der LED emittierten Flusses) und der einer Parabel besteht, und wir verwenden den Satz von Archimedes, um die Höhe des Rechtecks zu kennen, das diese Parabel enthält.

x1(447, 0)

x2(513, 0)

PARABOLISCHES MODELL

Wenn Sie sich das Bild ansehen, das ich hochgeladen habe, können Sie ein komplexes Modell sehen, um mit Parabeln mehrere verschiedene LED-Lichtströme darzustellen, aber wir wissen, dass ihre Darstellung nicht genau so ist, da sie eher einer Gaußschen Darstellung ähnelt.

Mit Parabeln können wir jedoch mit mathematischen Formeln alle Schnittpunkte mehrerer Parabeln finden und die Schnittflächen berechnen.

In Schritt 5 habe ich eine Tabelle angehängt, in der ich alle Formeln zur Berechnung aller Parabeln und deren Schnittflächen der monochromatischen LEDs eingetragen habe.

Normalerweise ist die Basis der Gauß-Funktion einer LED groß 66 nm. Wenn wir also die dominante Wellenlänge kennen und die LED-Strahlung mit einer Parabel annähern, wissen wir, dass die relative Parabel die x-Achse in +33 und λ-33 schneidet.

Dies ist ein Modell, das einem LED-Gesamtlicht mit Parabel nahe kommt. Aber wir wissen, dass, wenn wir genau sein wollen, es nicht genau richtig ist, wir eine Gauss-Kurve verwenden müssten, was uns zum nächsten Schritt bringt.

Schritt 3: Einführung in die Gaußsche Kurve

Eine Gauss-Kurve ist eine Kurve, die komplexer klingen wird als eine Parabel. Es wurde von Gauß erfunden, um Fehler zu interpretieren. Tatsächlich ist diese Kurve sehr nützlich, um die probabilistische Verteilung eines Phänomens zu sehen. Soweit wir uns vom Mittelwert nach links oder rechts bewegen, haben wir ein bestimmtes Phänomen seltener und wie Sie auf dem letzten Bild sehen können, ist diese Kurve eine sehr gute Annäherung an reale Ereignisse.

Die Gaußsche Formel ist die beängstigende, die Sie als zweites Bild sehen.

Die Gaußschen Eigenschaften sind:

- es ist symmetrisch zum Mittelwert;

- x = μ stimmt nicht nur mit dem arithmetischen Mittel überein, sondern auch mit dem Median und Modus;

- es ist an der x-Achse auf jeder Seite asymptotisch;

- sie nimmt für xμ ab;

- es hat zwei Wendepunkte in x = μ-σ;

- die Fläche unter der Kurve beträgt 1 Einheit (das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein x verifizieren würde)

σ ist die Standardabweichung, je größer die Zahl, desto breiter ist die Gaußsche Basis (erstes Bild). Wenn ein Wert im 3σ-Anteil liegt, wissen wir, dass er sich wirklich vom Mittelwert entfernt und die Wahrscheinlichkeit dafür geringer ist.

In unserem Fall kennen wir bei LEDs die Fläche der Gaussian, die dem im Herstellerdatenblatt angegebenen Lichtstrom bei einer gegebenen Wellenlängenspitze (dem Mittelwert) entspricht.

Schritt 4: Demonstration mit Geogebra

In diesem Abschnitt werde ich Ihnen zeigen, wie Sie Geogebra verwenden, um zu zeigen, dass eine Parabel das 2,19-fache ihrer Gaussian ist.

Zuerst müssen Sie ein paar Variablen erstellen, indem Sie auf den Schieberegler-Befehl klicken:

Die Standardabweichung σ=0,1 (die Standardabweichung definiert, wie breit die Gauss-Kurve ist, ich habe einen kleinen Wert angegeben, weil ich sie schmal machen wollte, um eine spektrale LED-Leistungsverteilung zu simulieren)

Der Mittelwert ist 0, so dass die Gauß-Funktion auf der y-Achse aufgebaut ist, wo es einfacher zu arbeiten ist.

Klicken Sie auf die kleine Wellenfunktion, um den Funktionsbereich zu aktivieren; Dort können Sie durch Klicken auf fx die Gaußsche Formel einfügen und Sie werden auf dem Bildschirm eine schöne hohe Gaußsche Kurve sehen.

Grafisch sehen Sie, wo die Kurve auf der x-Achse konvergiert, in meinem Fall in X1(-0.4;0) und X2(+0.4;0) und wo der Scheitelpunkt in V(0;4) liegt.

Mit diesen drei Punkten haben Sie genug Informationen, um die Gleichung der Parabel zu finden. Wenn Sie keine Berechnungen von Hand durchführen möchten, können Sie im nächsten Schritt diese Website oder die Tabelle verwenden.

Verwenden Sie den Funktionsbefehl (fx), um die gerade gefundene Parabelfunktion auszufüllen:

y=-25x^2 +4

Jetzt müssen wir verstehen, wie viele Gaussianer sich in einer Parabel befinden.

Sie müssen den Funktionsbefehl verwenden und den Befehl Integral (oder in meinem Fall Integrale, da ich die italienische Version verwendet habe) einfügen. Das bestimmte Integral ist die mathematische Operation, mit der wir die Fläche einer Funktion berechnen können, die zwischen bis zu x-Werten definiert ist. Wenn Sie nicht wissen, was ein bestimmtes Integral ist, lesen Sie hier.

a=Integral(f, -0,4, +0,4)

Diese Geogebra-Formel löst das definierte Integral zwischen -0,4 und +0,4 der Funktion f, der Gauß-Funktion. Da wir es mit einem Gaussianer zu tun haben, ist seine Fläche 1.

Machen Sie dasselbe für die Parabel und Sie werden die magische Zahl 2.13 entdecken. Das ist die Schlüsselzahl, um alle Lichtstromumrechnungen mit LEDs durchzuführen.

Schritt 5: Beispiel aus der Praxis mit LEDs: Berechnung der Flussspitze und der überlappenden Flüsse

LEUCHTFLUSS AM PEAK

Die tatsächliche Höhe der gerührten Gauss-Kurven der LED-Flussverteilung zu berechnen, ist jetzt, da wir den Umrechnungsfaktor 2,19 entdeckt haben, sehr einfach.

zum Beispiel:

BLUE LED hat 11lm Lichtstrom

- wir wandeln diesen Fluss von Gauß in Parabel um 11 x 2,19 = 24,09

- Wir verwenden den Satz von Archimedes, um die relative Rechteckfläche zu berechnen, die die Parabel 24,09 x 3/2 = 36,14. enthält

- Wir finden die Höhe dieses Rechtecks, das die Basis des Gaußschen für die BLAUE LED teilt, im Datenblatt angegeben oder auf dem Datenblattdiagramm zu sehen, normalerweise um 66 nm, und das ist unsere Leistung bei der Spitze von 480 nm: 36,14 / 66 = 0,55

ÜBERLAPPENDE LEUCHTFLUSSBEREICHE

Die Berechnung zweier überlappender Strahlungen erkläre ich an einem Beispiel mit den folgenden beiden LEDs:

BLAU ist bei 480nm und hat 11lm LichtstromGRÜN ist bei 530nm und hat 35lm Lichtstrom

Wir wissen und sehen aus dem Diagramm, dass beide Gaußkurven in -33nm und +33nm konvergieren, folglich wissen wir:

- BLAU schneidet die x-Achse in 447nm und 531nm

- GRÜN schneidet die x-Achse in 497nm und 563nm

Wir sehen deutlich, dass sich die beiden Kurven kreuzen, da sich ein Ende der ersten nach dem Anfang der anderen befindet (531 nm>497 nm), sodass sich das Licht dieser beiden LEDs an einigen Punkten überlappt.

Für beide müssen wir zunächst die Parabelgleichung berechnen. Die beigefügte Tabelle ist dazu da, Ihnen bei Berechnungen zu helfen und hat die Formeln zur Lösung des Gleichungssystems eingebettet, um die beiden Parabeln zu bestimmen, die die Schnittpunkte der x-Achse und den Scheitelpunkt kennen:

BLAUE Parabel: y = -0,0004889636025x^2 + 0,4694050584x -112.1247327

GRÜNE Parabel: y = -0,001555793281x^2 + 1,680256743x - 451,9750618

in beiden Fällen a>0 und die Parabel zeigt also korrekt auf dem Kopf.

Um zu beweisen, dass diese Parabeln richtig sind, geben Sie einfach a, b, c in den Scheitelpunktrechner auf dieser Parabelrechner-Website ein.

Auf dem Arbeitsblatt sind alle Berechnungen bereits durchgeführt, um die Schnittpunkte zwischen den Parabeln zu finden und das bestimmte Integral zu berechnen, um die Schnittflächen dieser Parabeln zu erhalten.

In unserem Fall beträgt die Schnittfläche der blauen und grünen LED-Spektren 0,4247.

Sobald wir die sich schneidenden Parabeln haben, können wir diesen neu gegründeten Schnittbereich für den Gaußschen Multiplikator 0,4694 multiplizieren und eine sehr gute Annäherung daran finden, wie viel Leistung die LEDs insgesamt in diesem Bereich des Spektrums emittieren. Um den einzelnen LED-Fluss zu ermitteln, der in diesem Abschnitt emittiert wird, teilen Sie ihn einfach durch 2.

Schritt 6: Das Studium der monochromatischen LEDs der Experimentallampe ist jetzt abgeschlossen

Nun, vielen Dank, dass Sie diese Studie gelesen haben. Ich hoffe, es wird Ihnen nützlich sein, zu verstehen, wie Licht von einer Lampe emittiert wird.

Ich habe die Ströme der LEDs einer speziellen Lampe studiert, die mit drei Arten von monochromatischen LEDs hergestellt wurde.

Die "Zutaten" für diese Lampe sind:

- 3 LED BLU

- 4 LED GRÜN

- 3 LED ROT

- 3 Widerstände zur Strombegrenzung in den LED-Stromkreiszweigen

- 12V 35W Netzteil

- Geprägte Acrylabdeckung

- OSRAM OT BLE DIM Steuerung (Bluetooth LED Steuergerät)

- Kühlkörper aus Aluminium

- M5-Schrauben und Muttern und L-Klammern

Steuern Sie alles mit der Casambi APP von Ihrem Smartphone aus, Sie können jeden LED-Kanal separat einschalten und dimmen.

Die Lampe zu bauen ist ganz einfach:

- Befestigen Sie die LED mit doppelseitigem Klebeband am Kühlkörper;

- Löten Sie alle BLU-LEDs in Reihe mit einem Widerstand und machen Sie dasselbe mit der anderen Farbe für jeden Zweig des Stromkreises. Entsprechend den LEDs, die Sie auswählen (ich habe Lumileds LED verwendet), müssen Sie die Widerstandsgröße in Bezug auf die Stromstärke, die Sie in die LED einspeisen, und die Gesamtspannung der Stromversorgung von 12 V wählen. Wenn Sie nicht wissen, wie das geht, empfehle ich Ihnen, diese großartige Anleitung zu lesen, wie Sie die Größe eines Widerstands bestimmen, um den Strom einer Reihe von LEDs zu begrenzen.

- Schließen Sie die Drähte an jeden Kanal des Osram OT BLE an: das gesamte Plus der Zweige der LEDs geht an den gemeinsamen (+) und die drei negativen der Zweige gehen jeweils an -B (blau) -G (grün)) -R (rot).

- Verdrahten Sie das Netzteil mit dem Eingang des Osram OT BLE.

Das Coole am Osram OT BLE ist nun, dass man Szenarien erstellen und die LED-Kanäle programmieren kann, wie im ersten Teil des Videos zu sehen ist, dimme ich die drei Kanäle und im zweiten Teil des Videos verwende ich einige vorgefertigte Lichtszenarien.

SCHLUSSFOLGERUNGEN

Ich habe Mathematik ausgiebig verwendet, um zu verstehen, wie sich die Ströme dieser Lampen ausbreiten würden.

Ich hoffe wirklich, dass Sie heute etwas Nützliches gelernt haben, und ich werde mein Bestes geben, um mehr Fälle von tiefgreifender angewandter Forschung wie diesem zu vermitteln.

Forschung ist der Schlüssel!

So lange!

Pietro