Die Brachistochrone-Kurve - Gunook

2024 Autor: John Day | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-30 07:17

Die Brachistochrone-Kurve ist ein klassisches physikalisches Problem, das den schnellsten Weg zwischen zwei Punkten A und B auf unterschiedlichen Höhen ableitet. Obwohl dieses Problem einfach erscheinen mag, bietet es ein kontraintuitives Ergebnis und ist daher faszinierend zu beobachten. In diesem Lehrmaterial lernt man das theoretische Problem kennen, entwickelt die Lösung und baut schließlich ein Modell, das die Eigenschaften dieses erstaunlichen physikalischen Prinzips demonstriert.

Dieses Projekt wurde für Gymnasiasten entwickelt, um verwandte Konzepte im Theorieunterricht zu behandeln. Dieses praktische Projekt stärkt nicht nur ihr Verständnis für das Thema, sondern bietet auch eine Synthese mehrerer anderer Bereiche, die es zu entwickeln gilt. Während des Baus des Modells lernen die Schüler beispielsweise Optik durch das Snell-Gesetz, Computerprogrammierung, 3D-Modellierung, digitales Zerkleinern und grundlegende Holzbearbeitungsfähigkeiten. Auf diese Weise kann eine ganze Klasse dazu beitragen, die Arbeit untereinander aufzuteilen, wodurch sie zu einer Teamleistung wird. Der Zeitaufwand für dieses Projekt beträgt etwa eine Woche und kann dann der Klasse oder jüngeren Schülern demonstriert werden.

Es gibt keinen besseren Weg, um zu lernen als durch MINT, also mach weiter, um dein eigenes funktionierendes Brachistochrone-Modell zu erstellen. Wenn Ihnen das Projekt gefällt, stimmen Sie im Klassenzimmerwettbewerb dafür ab.

Schritt 1: Theoretisches Problem

Das Brachistochrone-Problem dreht sich darum, eine Kurve zu finden, die zwei Punkte A und B verbindet, die sich auf unterschiedlichen Höhen befinden, sodass B nicht direkt unter A liegt, so dass das Fallenlassen einer Murmel unter dem Einfluss eines gleichmäßigen Gravitationsfeldes entlang dieses Pfades schnellstmöglich B erreichen. Das Problem wurde 1696 von Johann Bernoulli gestellt.

Als Johann Bernoulli im Juni 1696 den Lesern von Acta Eruditorum, einer der ersten wissenschaftlichen Zeitschriften im deutschsprachigen Europa, das Problem der Brachistochrone stellte, erhielt er Antworten von 5 Mathematikern: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus und Guillaume de l'Hôpital mit jeweils einzigartigen Ansätzen!

Achtung: Die folgenden Schritte enthalten die Antwort und enthüllen die Schönheit dieses schnellsten Weges. Nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um über dieses Problem nachzudenken, vielleicht knacken Sie es wie eines dieser fünf Genies.

Schritt 2: Verwenden des Snell-Gesetzes zum Demonstrieren

Einer der Ansätze zur Lösung des Brachistochronenproblems besteht darin, das Problem durch Analogien zum Snell-Gesetz anzugehen. Das Snell-Gesetz wird verwendet, um den Weg zu beschreiben, den ein Lichtstrahl von einem Punkt zum anderen nehmen würde, während er zwei verschiedene Medien durchquert, wobei das Fermat-Prinzip verwendet wird, das besagt, dass ein Lichtstrahl immer den schnellsten Weg nimmt. Eine formale Herleitung dieser Gleichung finden Sie unter folgendem Link.

Da ein frei fallendes Objekt unter dem Einfluss des Gravitationsfeldes mit einem Lichtstrahl verglichen werden kann, der sich durch wechselnde Medien bewegt, wird der Lichtstrahl jedes Mal, wenn der Lichtstrahl auf ein neues Medium trifft, leicht abgelenkt. Der Winkel dieser Abweichung kann mit dem Snell-Gesetz berechnet werden. Wenn man vor dem abgelenkten Lichtstrahl weiterhin Schichten mit abnehmender Dichte hinzufügt, bis der Strahl den kritischen Winkel erreicht, wo der Strahl einfach reflektiert wird, beschreibt die Trajektorie des Strahls die Brachistochrone-Kurve. (die rote Kurve im Diagramm oben)

Die Brachistochrone-Kurve ist in der Tat eine Zykloide, die von einem Punkt auf der Felge eines kreisförmigen Rades verfolgt wird, wenn das Rad ohne Schlupf entlang einer geraden Linie rollt. Wenn wir also die Kurve zeichnen müssen, können Sie einfach die obige Methode verwenden, um sie zu erzeugen. Eine weitere einzigartige Eigenschaft der Kurve besteht darin, dass ein Ball, der von einem beliebigen Punkt der Kurve losgelassen wird, genau die gleiche Zeit benötigt, um den Boden zu erreichen. Die folgenden Schritte beschreiben den Prozess der Durchführung eines Klassenzimmerexperiments durch die Konstruktion eines Modells.

Schritt 3: Praktisches Experimentmodell

Das Modell besteht aus lasergeschnittenen Pfaden, die als Spuren für die Murmeln dienen. Um zu zeigen, dass die Brachistochrone-Kurve der schnellste Weg von Punkt A nach B ist, haben wir uns entschieden, sie mit zwei anderen Wegen zu vergleichen. Da viele intuitiv denken würden, dass der kürzeste Teil der schnellste ist, haben wir uns entschieden, als zweiten Weg eine gerade Steigung zu bauen, die beide Punkte verbindet. Die dritte ist eine steile Kurve, da man das Gefühl hat, dass der plötzliche Abfall genug Geschwindigkeit erzeugen würde, um den Rest zu schlagen.

Das zweite Experiment, bei dem die Kugeln aus unterschiedlichen Höhen auf drei Brachistochronen-Bahnen losgelassen werden, ergibt das gleichzeitige Erreichen der Kugeln. Daher verfügt unser Modell über 3D-gedruckte Anleitungen, die eine einfache Austauschbarkeit zwischen den Acrylplatten ermöglichen, sodass beide Experimente durchgeführt werden können.

Schließlich sorgt der Auslösemechanismus dafür, dass die Bälle zusammen fallen und das Timing-Modul am Boden zeichnet die Timings auf, wenn die Bälle den Boden erreichen. Um dies zu erreichen, haben wir drei Endschalter integriert, die aktiviert werden, wenn die Kugeln ihn auslösen.

Hinweis: Man könnte dieses Design einfach kopieren und aus Pappe oder anderen leicht verfügbaren Materialien herstellen

Schritt 4: Benötigte Materialien

Hier sind die Teile und das Zubehör, um ein funktionierendes Modell des Brachistochronen-Experiments zu erstellen

HARDWARE:

1" Kiefernholzbrett - Abmessungen: 100cm x 10cm

Neodym-Magnetx 4 - Abmessungen; 1cm Durchmesser und 0,5cm Höhe

3D-Druck Filament - PLA oder ABS sind in Ordnung

M3 Gewindeeinsatz x 8 - (optional)

M3-Bolzen x 8 - 2,5 cm lang

Holzschraube x 3 - 6cm lang

Holzschraubex 12 - 2,5cm lang

ELEKTRONIK:

Arduino Uno

Endschalterx 4- diese Schalter fungieren als Zeitmesssystem

Druckknopf

LCD Bildschirm

Jumpwire x viele

Die Gesamtkosten des Modells beliefen sich auf etwa 3 0 $

Schritt 5: 3D-Druck

Mehrere Teile wie der Auslösemechanismus und die Steuerbox wurden mit Hilfe eines 3D-Druckers hergestellt. Die folgende Liste enthält die Gesamtanzahl der Teile und deren Druckspezifikationen. Alle STL-Dateien werden in einem oben angehängten Ordner bereitgestellt, sodass Sie bei Bedarf die erforderlichen Änderungen vornehmen können.

Steuerkasten x 1, 20% Füllung

Führung x 6, 30% Füllung

Endanschlag x 1, 20% Füllung

Schwenkarm x 1, 20% Füllung

Schwenkhalterung x 1, 30% Füllung

Trennstück x 1, 20% Füllung

Die Teile wurden in PLA gedruckt, da keine besonderen Belastungen auf die Teile einwirken. Insgesamt dauerte der Druck etwa 40 Stunden.

Schritt 6: Laserschneiden der Pfade

Die verschiedenen Pfade, die wir auf fusion 360 entworfen haben, wurden als.dxf-Dateien exportiert und dann lasergeschnitten. Wir haben opakes weißes Acryl mit einer Dicke von 3 mm gewählt, um die Kurven zu machen. Man kann es sogar mit Handwerkzeugen aus Holz herstellen, aber es ist wichtig sicherzustellen, dass das gewählte Material steif ist, da die Flexibilität das Herunterrollen der Kugeln beeinflussen kann.

6 x Brachistochrone-Kurve

2 x steile Kurve

2 x Gerade Kurve

Schritt 7: Schneiden des Holzes

Der Rahmen des Modells ist aus Holz. Wir haben uns für 1 "x 4" Kiefer entschieden, da wir einige Reste von einem früheren Projekt hatten, obwohl man ein Holz seiner Wahl verwenden kann. Mit einer Kreissäge und einer Führung schneiden wir zwei Holzstücke der Länge:

48cm, das ist die Länge des Weges

31cm, das ist die Höhe

Wir haben die rauen Kanten durch leichtes Schleifen auf dem Tellerschleifer gereinigt.

Schritt 8: Bohren der Löcher

Bevor Sie die beiden Teile zusammenschrauben, markieren Sie die Dicke des Holzes an einem Ende des unteren Teils und zentrieren Sie drei äquidistante Löcher. Wir haben mit einem 5-mm-Bit eine Vorbohrung auf beiden Holzstücken erstellt und das Loch im unteren Teil versenkt, damit der Schraubenkopf bündig eingedreht werden kann.

Hinweis: Achten Sie darauf, das senkrechte Holzstück nicht zu spalten, da in das Hirnholz gebohrt wird. Verwenden Sie auch lange Holzschrauben, da es wichtig ist, dass der Rahmen und die Oberseite durch die Hebelwirkung nicht wackeln.

Schritt 9: Einbetten der Kühlkörper und der Magnete

Da sich die Fäden in 3D-gedruckten Teilen mit der Zeit abnutzen, haben wir uns entschieden, Kühlkörper einzubetten. Die Löcher sind leicht unterdimensioniert, damit der Kühlkörper besser am Kunststoff haften kann. Wir platzierten M3-Kühlkörper über den Löchern und drückten sie mit der Spitze eines Lötkolbens hinein. Durch die Hitze schmilzt der Kunststoff und die Zähne verkeilen sich. Achten Sie darauf, dass sie bündig mit der Oberfläche sind und senkrecht hineingegangen sind. Insgesamt gibt es 8 Plätze für die Gewindeeinsätze: 4 für den Deckel und 4 zur Montage des Arduino Uno.

Um die Montage der Zeiteinheit zu erleichtern, haben wir Magnete in die Box eingelassen, so dass sie bei Bedarf leicht abgenommen werden kann. Die Magnete müssen vor dem Einschieben in die gleiche Richtung ausgerichtet sein.s

Schritt 10: Anbringen der Endschalter

Die drei Endschalter sind an einer Seite der Zeiteinheit angebracht, die dem Boden der Bahnen zugewandt ist. So kann man beim Klicken der Bälle auf die Schalter feststellen, welcher Ball zuerst erreicht wurde und das Timing auf einem LCD-Display angezeigt werden. Löten Sie kleine Drahtstreifen an die Klemmen und sichern Sie sie mit einem Tupfer CA-Kleber in den Schlitzen, da sie sich nach ständigen Schlägen nicht lösen sollten.

Schritt 11: LCD-Anzeige

Der Deckel der Zeitmesseinheit hat einen rechteckigen Ausschnitt für den LCD-Bildschirm und ein Loch für den "Start"-Knopf. Wir haben das Display mit Heißkleber-Tupfern bündig mit der Deckeloberfläche befestigt und den roten Knopf mit seiner Befestigungsmutter fixiert.

Schritt 12: Verdrahtung der Elektronik

Die Verkabelung besteht aus dem Verbinden der verschiedenen Komponenten mit den richtigen Pins auf dem Arduino. Folgen Sie dem oben angehängten Schaltplan, um die Box einzurichten.

Schritt 13: Hochladen des Codes

Den Arduino-Code für das Brachistochrone-Projekt finden Sie unten im Anhang. Es gibt zwei Öffnungen im Elektronikfach für den einfachen Zugang zum Programmieranschluss des Arduino und für die Strombuchse.

Der rote Knopf, der oben auf der Box angebracht ist, wird verwendet, um den Timer zu starten. Sobald die Murmeln die Kurven hinunterrollen und die unten platzierten Endschalter auslösen, werden die Zeiten nacheinander aufgezeichnet. Nachdem alle drei Bälle getroffen wurden, zeigt der LCD-Bildschirm die Ergebnisse an, ausgerichtet an den jeweiligen Kurven (Bilder oben angehängt). Wenn Sie die Ergebnisse notiert haben, falls eine zweite Messung erforderlich ist, drücken Sie einfach erneut die Haupttaste, um den Timer zu aktualisieren, und wiederholen Sie den gleichen Vorgang.

Schritt 14: Die 3D-Druckanleitungen

Die 3D-gedruckten Führungen hatten eine 3mm-Materialbasis, bevor die Stützwände begannen. Daher würde beim Einschieben der Acrylplatten eine Lücke zwischen der Platte und dem Holzrahmen entstehen, was die Stabilität des Weges verringert.

Dazu musste die Führung 3mm in das Holz eingelassen werden. Da wir keinen Router hatten, haben wir ihn in eine örtliche Werkstatt gebracht und auf einer Fräsmaschine gemacht. Nach etwas Schleifen passten die Drucke genau und wir konnten sie mit Holzschrauben von der Seite befestigen. Oben angebracht ist eine Schablone für die Platzierung der 6 Führungen auf dem Holzrahmen.

Schritt 15: Hinzufügen des Stoppers und der Zeiteinheit

Da das Timing-Modul ein separates System war, haben wir uns für ein schnelles Montage- und Demontagesystem mit Magneten entschieden. Auf diese Weise kann man es leicht programmieren, indem man einfach das Gerät herausnimmt. Anstatt eine Schablone zu machen, um die Position der Magnete zu übertragen, die in das Holz eingelassen werden sollen, lassen wir sie einfach mit denen auf der Box verbinden und tragen dann ein wenig Leim auf und legen die Box auf das Holzstück. Die Klebespuren wurden auf das Holz übertragen, so dass wir schnell die Löcher an den genauen Stellen bohren können. Bringen Sie schließlich den 3D-gedruckten Stopper an und die Zeiteinheit sollte fest sitzen, sich aber mit einem leichten Zug lösen können

Schritt 16: Der Freigabemechanismus

Der Auslösemechanismus ist unkompliziert. Verwenden Sie eine Mutter und eine Schraube, um das C-Profil fest mit dem Schwenkarm zu verbinden, sodass sie ein sicheres Stück bilden. Bohren Sie dann zwei Löcher in die Mitte des vertikalen Holzes und befestigen Sie die Halterung. Schieben Sie eine schwenkbare Welle und der Mechanismus ist fertig.

Schritt 17: Das Experiment

Nun, da das Modell fertig ist, kann man die folgenden Experimente durchführen

Versuch 1

Schieben Sie die Acrylplatten des geraden Pfads, der Brachistochrone-Kurve und des steilen Pfads vorsichtig ein (in dieser Reihenfolge für den besten Effekt). Ziehen Sie dann den Riegel nach oben und platzieren Sie die drei Kugeln oben auf der Kurve, um sicherzustellen, dass sie perfekt aufeinander ausgerichtet sind. Halten Sie sie mit dem Riegel nach unten fest. Lassen Sie einen Schüler die Bälle loslassen und einen anderen den roten Knopf drücken, um das Zeitmesssystem zu starten. Beobachten Sie abschließend, wie die Kugeln den Weg hinunterrollen, und analysieren Sie die auf dem Zeitmessmodul angezeigten Ergebnisse. Das Einrichten einer Kamera zum Aufnehmen von Zeitlupenaufnahmen ist noch spannender, da man das Rennen Bild für Bild sehen kann.

Experiment 2

Wie beim vorherigen Experiment schieben Sie die Acrylplatten ein, aber diesmal müssen alle Pfade die Brachistonchrone-Kurve sein. Bitten Sie einen Schüler, die drei Bälle diesmal in unterschiedlichen Höhen zu halten und den roten Knopf zu drücken, wenn die Bälle losgelassen werden. Beobachten Sie den erstaunlichen Moment, wie sich die Bälle vor der Ziellinie perfekt aufreihen und bestätigen Sie die Beobachtungen mit den Ergebnissen.

Schritt 18: Fazit

Die Herstellung des Brachistochronen-Modells ist eine praktische Möglichkeit, die magische Funktionsweise der Wissenschaft zu erkennen. Die Experimente machen nicht nur Spaß beim Anschauen und sind fesselnd, sondern bieten auch eine Synthese von Lernaspekten. Während in erster Linie ein Projekt für Gymnasiasten, sowohl praktisch als auch theoretisch, gedacht ist, ist diese Demonstration für jüngere Kinder leicht zu verstehen und könnte als vereinfachte Präsentation gezeigt werden.

Wir möchten Menschen ermutigen, Dinge zu machen, sei es ein Erfolg oder Misserfolg, denn am Ende des Tages macht MINT immer Spaß! Viel Spaß beim Machen!

Geben Sie eine Stimme im Klassenzimmerwettbewerb ab, wenn Ihnen die Lehrmaterialien gefallen haben, und hinterlassen Sie Ihr Feedback im Kommentarbereich.

Großer Preis beim Klassenzimmer-Wissenschaftswettbewerb